Un universo de formas: junio 2012

jueves, 14 de junio de 2012

Clasificación.

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros y cuerpos geométricos redondos o no poliedros.
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas planas exclusivamente. Entre los más conocidos:
Solidos platonicos
Prismas
Prismas
Redondos

Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Entre los más conocidos:
Esferas
Cilindros
Conos.

Teorema de euler

La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos. Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene que:
C + V = A + 2
Las consecuencias más importantes del teorema de Euler son:
1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
2) Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo número de aristas y que son: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.
3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos.

Teorema de cavalieri en el espacio.

Es una ley geométrica que enuncia la diferencia de volumen en dos cuerpos.
Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual volumen.
Un ejemplo ilustrativo:
Cilindro
La sección de un cilindro proporciona un círculo si éste se hace perpendicular al eje de rotación principal del mismo, el área de dicha sección es

, cuando

es el radio de la superficie (o de la parte interior el cilindro). Por el principio de Cavalieri el volumen del cilindro es igual al de un paralelepipedo cuando éste posee la misma altura

, siempre que la sección del paralepípedo tenga la misma área y por lo tanto ambos poseen un volumen de

Icosaedro

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triangulos equilateros, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro onjugado del icosaedro es el dodecaedro.

ÁREA:

VOLUMEN:

ICOSAEDRO EN LA VIDA COTIDIANA.

PROBLEMA.

Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

Dodecaedro

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras,convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Número de caras: 12.

Número de vértices: 20.

Número de aristas: 30.

Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.

ÁREA

VOLUMEN

DODECAEDRO EN LA VIDA COTIDIANA.

PROBLEMA.

1.Halla el área del dodecaedro con 3 cm de apotema y 4 cm de arista.

Octaedro

Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.

Volumen y área:
$V=\frac{1}{3} \sqrt{2} \cdot a^3$
$A=8 \cdot A_c=8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 2 \sqrt{3} \cdot a^2$
Octaedro en la vida cotidiana.

Problema:

Halla el volumen de un octaedro cuya arista es de 6 cm.

Prismas.

Prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos en las bases y paralelogramos en las caras laterales.En función del polígono de las bases,los prismas pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...

ÁREAS:

VOLUMEN :

ELEMENTOS NOTABLES:

: Área de la base.

: Área lateral.

: Perímetro de la base.

: altura

PRISMAS EN LA VIDA COTIDIANA:

PROBLEMA:

1.Halla el volumen de un prisma de 5 cm de área y 7 cm de altura.

Cubo (hexaedro).

Es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos.
El hexaedro regular cumple el Teorema de poliedros de Euler.

Caras 6
Polígonos que forman las caras
Cuadrado
Aristas 12
Vértices 8
Volumen y área:

Problema:
1.Halla el volumen de un hexaedro cuya arista mide 6cm.

Tetraedro

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras.
Este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular.

dibujo

VOLÚMENES:
área y volumen

ÁREA:

TETRAEDRO EN LA VIDA COTIDIANA.

PROBLEMA.
1.Halla el área de un tetraedro sabiendo que la arista mide 5 cm.

Casquete esférico.

Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante

Un casquete esférico tiene el radio de la esfera, el radio de la base del casquete , y la altura del casquete.

Áreas y volumenes:

$A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h$
$V = \frac {\pi h}{6} (3a^2 + h^2)$

Casquete esférico en la vida cotidiana:

Problema:

Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

Octaedro

Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular.
AREA TOTAL Y VOLUMEN

Problema:

1.Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

Esfera.

En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.
Sus elementos notables serían el diámetro, el rádio, el centro...

Áreas y volúmenes:

$V = \frac{2}{3} (\pi r^2 \cdot 2r)$

$\ A = 4\pi r^2$

Elementos notables:
$r\;\!$ : radio

Esferas del universo:

Problema:

Halla el volumen de una esfera que tiene de diámetro 9cm.

Tronco de pirámide.

El tronco de pirámide es un poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

La sección determinada por al corte es la base menor.

Las caras laterales son trapecios isósceles.

Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.

La altura es la distancia entre las bases

Áreas y volumenes:

$A = \frac{(P_1+P_2)}{2}\cdot a + B_1 + B_2$

$V = \frac {h}{3} (B_1 + B_2 + \sqrt{{B_1 \cdot B_2}})$

Problema:

Calcula el area y el volumen de un tronco de pirámide pentagonal cuyo lado mide 3cm y su altura 6cm.

Tronco de cono

El tronco de cono o cono truncado es un volumen de revolución generado por un trapecio rectángulo al tomar como eje de giro el lado perpendicular a las bases.
Queda determinado por los radios de las bases, $r_1 \,$ y $r_2 \,$ , la altura, $h \,$ , y la generatriz, $s \,$ , entre las cuales se cumple la relación del teorema de Pitágoras.

Áreas y volumenes:

$A_L = \pi \left(r_1 + r_2 \right)s$

$A = A_1 + A_2 + A_L \,$

$V = \frac{h \pi}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \,$

Problema:

Halla el volumen de un tronco de cono cuya altura es de 5m y su radio es de 3m.